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Lecture notes for students

Below is a compilation of some lecture notes (mostly in French) which I have written for my regular teaching activities, at undergraduate or graduate level. These notes are unfinished, and hopefully will be completed some day. In some cases there are also repositories of the modifications, used during the courses to inform the students of the various updates.


Cours d’Intégration et Analyse de Fourier

Ces notes ont été rédigées pour un cours que j’ai enseigné à l’ENS Lyon (niveau licence) entre 2003 et 2008. Elles contiennent une présentation de la théorie moderne de la mesure, ainsi que de l’analyse de Fourier. On y trouve des motivations historiques, des liens entre intégrale de Riemann et de Lebesgue, des résultats subtils de construction de mesures de probabilités (Kolmogorov, Hewitt-Savage), des chapitres sur la dimension de Hausdorff et la désintégration de la mesure, des notions d’analyse harmonique sur les groupes, une introduction à l’analyse fonctionnelle. Comme mes autres notes de cours, celles-ci n’utilisent pas l’axiome du choix dans sa version forte, mais seulement dans la version du “choix dépendant” (que l’on utilise sans même s’en rendre compte). Quelques chapitres sont encore manquants, et quelques examens sont fournis.

Notes de cours : Intégration et Analyse de Fourier (version 2010)

Examen 2003-2004 : Sous-ensembles invraisemblables du plan

Partiel 2004-2005 : Densité, récurrence et ergodicité

Examen 2004-2005 : Principe d’incertitude de Heisenberg

Partiel 2005-2006 : Produit de convolution, inégalité de Besicovitch

Examen 2005-2006 : Fonction de Weierstrass, théorie de densité de Lebesgue

Partiel 2007-2008 : Théorème de Radon-Nikodym, compacité forte

Examen 2007-2008 : Formule sommatoire de Poisson, formule d’échantillonnage de Shannon

Partiel 2008-2009 : Distance de Wasserstein L2

Examen 2008-2009 : Restriction de fonctions a priori discontinues, effet moyennant du flot géodésique

 

Modifications du 17/11/08: Correction de la preuve du Théorème VII-172.

Modifications du 26/03/08: Ajout d’une section sur la désintégration généralisée dans le Chapitre 11.

Modifications du 23/03/08: Première version des deux premières sections du Chapitre 11 (désintégration). Les deux sections manquantes seront rédigées plus tard. Petit ajout dans le chapitre 1 (changements cosmétiques dans la Définition I-42; ajout de la Proposition I-52, utilisée dans la démonstration d’existence de la désintégration).

Modifications du 07/03/08: Importants remaniements dans la fin du Chapitre 6 (espaces de mesures). Corrections très mineures dans le Chapitre 2.

Modifications du 02/03/08: Ajout de la première proto-version du Chapitre 11 (Analyse de Fourier), encore incomplète et avec de nombreuses lacunes.

Modifications du 09/02/08: De nombreuses coquilles corrigées dans le Chapitre 7, et la première esquisse de la section sur la convexité dans ce même chapitre (quelques preuves restent à rédiger dans cette section, dont une particulièrement rebelle).

Modifications du 31/01/08: Quelques coquilles corrigées dans les Chapitres 1, 2 et 7.

Modifications du 24/01/08: Des coquilles corrigées dans le Chapitre 4, et quelques améliorations apportées à ce chapitre.

Modifications du 7/03/07: Quelques compléments au niveau de la régularité dans le théorème de Riesz. Refonte du Chapitre 7, corrections de nombreuses fautes. Ce chapitre commence à être présentable. La section 5 (convergence et compacité) demande à être encore relue. Les deux dernières sections (convexité et retour sur l’espace de Hilbert séparables) sont encore à rédiger.

Modifications du 7/02/07: Les preuves manquantes dans le chapitre 4 (changements de variables) ont enfin été rédigées.

Modifications du 29/01/07: Le chapitre 4 (mesure de Lebesgue) a ét&eacute augmenté et certains énoncés ont été simplifés (en particulier pour le théorème de changement de variables). Il reste deux preuves à rédiger.

Modifications du 18/01/07: Introduction de la construction de la mesure de Lebesgue en dimension 1 dès le Chapitre I, afin d’illustrer le théorème de Carathéodory, et de préparer les exemples du Chapitre II. Généralisation de l’énoncé de l’existence du support. Réparation de la preuve de Jensen qui supposait implicitement que la fonction convexe était à valeurs réelles.

Modifications du 02/10/05: Remaniements dans la présentation de l’Introduction et du Chapitre I. (Noter: coquilles dans les définitions d’algèbre et de topologie: il faut imposer l’appartenance de l’espace entier.)

 

 


 

Cours d’Analyse II

Ces notes ont été rédigées pour un cours d’analyse approfondie que j’ai enseigné à l’ENS Lyon (niveau maîtrise) entre 2003 et 2005. On y trouve une introduction aux espaces fonctionnels classiques, à l’interpolation, et à la théorie des distributions. Ce cours restera certainement inachevé, mais il se peut que j’y ajoute des chapitres à l’occasion.

Notes de cours : Cours d’Analyse Approfondie (version 2005)

Examen 2004 : Propriétés des fonctions Sobolev-régulières

Examen 2005 avec sa correction partielle : EDP linéaires élémentaires

Examen 2006 : Distributions périodiques; solutions faibles devenant fortes

 

Modifications du 17/11/08: Correction de la preuve du Théorème VII-172.

Modifications du 26/03/08: Ajout d’une section sur la désintégration généralisée dans le Chapitre 11.

Modifications du 23/03/08: Première version des deux premières sections du Chapitre 11 (désintégration). Les deux sections manquantes seront rédigées plus tard. Petit ajout dans le chapitre 1 (changements cosmétiques dans la Définition I-42; ajout de la Proposition I-52, utilisée dans la démonstration d’existence de la désintégration).

Modifications du 07/03/08: Importants remaniements dans la fin du Chapitre 6 (espaces de mesures). Corrections très mineures dans le Chapitre 2.

Modifications du 02/03/08: Ajout de la première proto-version du Chapitre 11 (Analyse de Fourier), encore incomplète et avec de nombreuses lacunes.

Modifications du 09/02/08: De nombreuses coquilles corrigées dans le Chapitre 7, et la première esquisse de la section sur la convexité dans ce même chapitre (quelques preuves restent à rédiger dans cette section, dont une particulièrement rebelle).

Modifications du 31/01/08: Quelques coquilles corrigées dans les Chapitres 1, 2 et 7.

Modifications du 24/01/08: Des coquilles corrigées dans le Chapitre 4, et quelques améliorations apportées à ce chapitre.

Modifications du 7/03/07: Quelques compléments au niveau de la régularité dans le théorème de Riesz. Refonte du Chapitre 7, corrections de nombreuses fautes. Ce chapitre commence à être présentable. La section 5 (convergence et compacité) demande à être encore relue. Les deux dernières sections (convexité et retour sur l’espace de Hilbert séparables) sont encore à rédiger.

Modifications du 7/02/07: Les preuves manquantes dans le chapitre 4 (changements de variables) ont enfin été rédigées.

Modifications du 29/01/07: Le chapitre 4 (mesure de Lebesgue) a ét&eacute augmenté et certains énoncés ont été simplifés (en particulier pour le théorème de changement de variables). Il reste deux preuves à rédiger.

Modifications du 18/01/07: Introduction de la construction de la mesure de Lebesgue en dimension 1 dès le Chapitre I, afin d’illustrer le théorème de Carathéodory, et de préparer les exemples du Chapitre II. Généralisation de l’énoncé de l’existence du support. Réparation de la preuve de Jensen qui supposait implicitement que la fonction convexe était à valeurs réelles.

Modifications du 02/10/05: Remaniements dans la présentation de l’Introduction et du Chapitre I. (Noter: coquilles dans les définitions d’algèbre et de topologie: il faut imposer l’appartenance de l’espace entier.)

 

 


 

Cours de limite de Champ Moyen

Ces notes ont été rédigées pour un cours de DEA dispensé à l’ENS Lyon en 2001-2002. On y trouve des notions de base sur la limite de champ moyen, le déterminisme asymptotique de la mesure empirique, et des passages à la limite complets dans le cas d’interactions lisses. Ce cours est incomplet; je l’intégrerai probablement à un projet d’ouvrage plus volumineux.

Notes de cours : Limite de Champ Moyen (version 2002)