California Dreaming

Tout au long de l’automne, je participe au semestre de recherche sur le transport optimal qui se tient au Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) à Berkeley. Pendant mon absence, l’Institut Henri Poincaré est magistralement tenu par Jean-Philippe Uzan (astrophysicien et cosmologiste), nouveau directeur adjoint, et une équipe administrative partiellement renouvelée. Prendre un break après quatre ans de direction est vraiment appréciable.

Welcome to California! La “Bay Area” autour de San Francisco a gardé un charme particulier. Comme on sait bien, le climat y est doux à longueur d’année (attention aux infinies variations de brume les matins d’été); une atmosphère de détente, de jolies maisons avec un goût de campagne, des jardins envahis par d’élégantes toiles d’araignées qui brillent dans la lumière; envahis aussi, quand vient Halloween, de squelettes, fantômes et courges à ne plus savoir qu’en faire… Une population fort mélangée, avec une très importante composante asiatique, et quelques hippies bien sûr. Berkeley passe pour être le point le plus à gauche (politiquement s’entend) des États-Unis, et l’on y trouve aussi le restaurant le plus célèbre de la Californie, Chez Panisse. L’Université de Berkeley est l’une des plus réputées des États-Unis, dans tous les domaines, de la musique aux sciences “dures”, en passant par la philosophie ou l’économie. En tout cas, la vue de mon bureau, près du sommet de la colline de Berkeley, est probablement la plus belle que l’on puisse trouver dans tous les instituts de mathématique du globe !

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Berkeley est l’un des endroits des États-Unis où l’on peut vivre sans voiture… La montée à vélo le matin au MSRI n’est pas une simple promenade (300 mètres de dénivelé), mais elle ne détone pas dans l’ambiance californienne : les habitants de Berkeley sont fort attentifs à leur forme physique, l’on croise toujours nombre de joggeurs et joggeuses, et d’autres cyclistes bien sûr (l’un d’entre eux est venu à mon secours un jour où ma chaîne s’était coincée de manière particulièrement retorse; il a dû se battre pendant bien vingt minutes avec l’engin avant que je puisse repartir…).

Arrivé en haut de la colline, vous trouvez le MSRI au 17 voie Gauss… Une adresse qui ne doit rien au hasard ! C’est en effet un clin d’oeil à l’un des plus frappants résultats de Carl Friedrich Gauss, “prince des mathématiciens” : au tendre âge de 19 ans, il démontra que le polygone régulier à 17 côtés, ou heptadécagone, est constructible à la règle et au compas; c’était la plus importante découverte que l’on ait faite dans le domaine des polygones constructibles depuis plus de 2000 ans ! On dit d’ailleurs que c’est cet exploit qui décida Gauss à devenir mathématicien; et conformément à ses instructions, une étoile commémorative à 17 pointes est gravée sur sa tombe…

Une fois sur place, vous êtes accueilli par la statue grandeur nature de Shiing-Shen Chern, l’immense mathématicien chinois qui fut longtemps le mathématicien le plus respecté de Berkeley, et fonda le MSRI à l’âge respectable de 70 ans.

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J’ai eu l’occasion d’évoquer brièvement la vie de Chern dans un billet pour Le Monde, et recommande l’émouvant film de George Csicsery sur ce personnage emblématique. Dans “son” institut, on ne trouve pas de scientifiques permanents : à l’exception du directeur et de la directrice adjointe, il n’y a que des chercheurs invités, participant à l’un ou l’autre des programmes thématiques qui sont menés en parallèle. En fait, ce sont les principes du MSRI qui ont inspiré l’organisation actuelle de l’Institut Henri Poincaré — et d’autres instituts de recherche fondamentale dans le monde.

Ainsi, cet automne, pendant qu’à Paris se tient un programme sur la mécanique céleste, coordonné et présenté par Jérôme Perez, en Californie des chercheurs plancheront sur le transport optimal, et d’autres travailleront en même temps sur la relativité générale; ces deux thèmes vont bien ensemble, entre autres parce que la courbure de Ricci joue un rôle central dans les deux domaines.

C’est mon deuxième séjour de longue durée à Berkeley. Le premier séjour, en 2004, au Département de mathématique, sur l’invitation du Miller Institute, avait abouti à ma rencontre avec John Lott; ensemble nous avions travaillé à utiliser la théorie du transport optimal pour développer une théorie synthétique de la courbure de Ricci — je donne quelques explications sur cet axe de recherche dans ma page Futura-Sciences.

J’ai eu l’occasion d’expliquer cette rencontre, et ce thème de recherche, de nombreuses fois dans des conférences publiques — par exemple à Nice (en français, version longue), ou à la conférence Falling Walls de Berlin (in English, version brève) ou encore au Politecnico di Milano (in English, version longue).

En 2004 nous nous lancions donc dans l’aventure, en même temps que Karl-Theodor (“Theo”) Sturm à Bonn. Notre article et celui de Theo, parus respectivement dans Annals of Mathematics et dans Acta Mathematica, sonnaient le coup d’envoi d’un domaine de recherche qui a pris un peu de temps à démarrer, mais qui est aujourd’hui assez bien développé, parfois appelé théorie de Lott-Sturm-Villani (LSV).

Nous voici en 2013, et précisément, le traitement synthétique de la courbure de Ricci est l’un des thèmes bien explorés dans le semestre thématique organisé au MSRI sur le sujet du transport optimal. L’occasion pour les trois pères fondateurs de se retrouver, dans la lumière californienne !

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L’occasion aussi pour moi de me tenir au courant des derniers développements de la théorie, qui a avancé spectaculairement, et, je dois l’avouer, s’est développée complètement hors de mon contrôle, avec en particulier de fortes contributions italiennes (Ambrosio, Gigli, Savaré, Mondino…), japonaises (Ohta, Kuwada…) et allemandes (Sturm, Erbar…). J’ai fait un point de synthèse récemment dans un exposé au MSRI préparé pour un public de mathématiciens (attention, fichier lourd !) :

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De fait, ce séjour est l’occasion, entre autres, d’avancer sur un projet qui me tient à coeur depuis des années : réviser ma monographie, Optimal Transport, old and new, ouvrage de référence sur le transport optimal, paru chez Springer-Verlag en 2008 (on trouve sur mon site Internet l’édition originale, à quelques modifications mineures près).

Optimal Transport, c’est une partie de ma vie. J’y ai travaillé entre 2005 et 2008, rassemblant et mettant en forme les matériaux variés qui constituent le bon millier de pages de cet ouvrage, passant en revue des centaines de références, réécrivant toutes les preuves des résultats fondamentaux du domaine, mettant à contribution nombre de mes collègues pour y voir plus clair dans telle ou telle direction. Il me semble que l’état obsessif dans lequel je me trouvais vers la fin de ce travail de rédaction était le plus intense que j’aie jamais connu; je passais des journées entières à taper et retaper sans cesse sur mon ordinateur de l’époque, baptisé Torsten, un cadeau du Miller Institute. Entre autres manifestations de cette obsession, je me souviens d’un voyage en TGV, un soir, passé presque entièrement — ne riez pas — dans le compartiment des toilettes, afin d’avoir accès à la précieuse prise de courant qui me permettait de continuer à travailler.

Cinq ans plus tard, l’état obsessif a disparu (heureusement !), Optimal Transport a bien tenu le choc et il est devenu une référence classique dans le domaine du transport optimal. Cependant, depuis la parution, de nombreux changements, gros ou petits, se sont proposés à moi. J’ai compris comment améliorer certains énoncés; quelques conjectures ont été démontrées, et une a été réfutée; de nombreuses contributions nouvelles sont parues, dont certaines assez fondamentales; quelques erreurs ont été débusquées par les lecteurs. Il est bien sûr impossible à un ouvrage de recherche de rester parfaitement à jour, mais je me suis résolu à effectuer un grand nombre de petites corrections (environ 200 !), ajouter quatre ou cinq sections supplémentaires pour augmenter la cohérence de l’ensemble, et rédiger un nouveau chapitre pour rendre compte des développements les plus récents de la théorie synthétique de la courbure de Ricci. Beau programme, mais quel travail…

Pour m’aider dans la tâche, les étudiants qui participent au programme de recherche — thésards, postdocs, en tout quinze à vingt, venus de Berkeley et du monde entier — ont accepté de prendre part à un groupe de travail qui se réunit deux fois par semaine; à tour de rôle, avec mon aide, ils préparent des exposés sur différentes parties de l’ouvrage, en même temps que je travaille à mettre en oeuvre les modifications.

Et chaque soir, quand le soleil décline en Californie, et n’est pas encore levé en France, les mathématiciens, leur travail accompli, quittent le MSRI avec des problèmes plein la tête, laissant derrière eux une nuée d’équations éphémères, tracées à la craie sur de jolis tableaux noirs…

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